geometri ruang

A.PENGERTIAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG

Bagian pembentuk bangun ruang adalah titik, garis dan bidang. Ketiga bagian ini disebut unsur-unsur ruang. Unsur-unsur titik, garis dan bidang dalam geometri merupakan istilah-istilah dasar. Sebagaimana kita ketahui bahwa istilah dasar adalah suatu istilah yang hanya dapat dideskripsikan atau dipaparkan.

Dengan demikian, titik, garis, dan bidang dapat dideskripsikan sebagaimana dalam uraian berikut ini :

1. TITIK

§Sebuah titik hanya dapat ditentukan oleh letaknya, tetapi tidak mempunyai ukuran (dikatakan tidak berdimensi). Sebuah titik digambarkan dengan memakai tanda noktah, kemudian dibubuhi dengan nama titik itu. Nama sebuah titik biasanya menggunakan huruf kapital seperti A, B, C, P, Q atau R. Pada gambar diperlihatkan dua titik, yaitu titik A dan titik P.

2. GARIS

§Sebuah garis(dimaksudkan adalah garis lurus) dapat diperpanjang sekehendak kita. Namun mengingat terbatasnya bidang tempat gambar, sebuah garis hanya dilukiskan sebagian saja. Bagian dari garis ini disebut wakil garis. Garis hanya mempunyai ukuran panjang, tetapi tidak mempunyai ukuran lebar. Nama dari sebuah garis dapat ditentukan dengan menyebutkan nama wakil garis itu dengan memakai huruf kecil g, h, k, atau menyebutkan nama segmen garis dari titik pangkal ke titik ujung. Pada gambar diperlihatkan dua buah garis, yaitu garis g dan segmen garis AB.

3. BIDANG

§Sebuah bidang (dimaksudkan adalah bidang datar), dapat diperluas seluas-luasnya. Pada umumnya, sebuah bidang hanya dilukiskan sebagian saja yang disebut sebagai wakil bidang. Wakil suatu bidang mempunyai dua ukuran, yaitu panjang dan lebar. Gambar dari wakil bidang dapat berbentuk persegi atau bujur sangkar, persegi panjang, atau jajargenjang. Nama wakil bidang dituliskan di daerah pojok bidang dengan memakai huruf α , β, γ atau H, U, V, W atau dengan menyebutkan titik-titik sudut dari wakil bidang itu.Pada gambar diperlihatkan beberapa bentuk bidang.

2.       Garis

1.       Pengertian garis

Ketika pertama kali diformalkan geometri oleh Euclid dalam Elements, ia garis didefinisikan sebagai "breadthless panjang" dengan garis lurus menjadi garis "yang terletak secara merata dengan titik-titik pada dirinya sendiri". definisi ini melayani tujuan kecil karena mereka menggunakan istilah-istilah yang tidak, mereka sendiri, yang didefinisikan. Bahkan, Euclid tidak menggunakan definisi ini dalam pekerjaan dan mungkin termasuk mereka hanya untuk menjelaskan kepada pembaca apa yang sedang dibahas. Geometri modern, sebuah garis hanya dianggap sebagai obyek belum terdefinisi dengan sifat-sifat yang diberikan oleh dalil-dalil.

Dalam sebuah aksiomatik perumusan Euclidean geometri, seperti yang dari Hilbert (aksioma asli Euclid terkandung berbagai kekurangan yang telah diperbaiki oleh ahli matematika modern), garis dinyatakan memiliki properti tertentu yang menghubungkannya dengan garis lain dan titik-titik. Sebagai contoh, untuk setiap dua titik berbeda, ada baris yang berisi mereka yang unik, dan setiap dua garis berpotongan yang berbeda paling banyak satu titik.

Dalam dua dimensi, yaitu yang Euclidean pesawat, dua baris yang tidak saling berpotongan disebut paralel. Dalam dimensi yang lebih tinggi, dua baris yang tidak mungkin berpotongan sejajar jika mereka yang terkandung dalam pesawat, atau condong jika mereka tidak. Setiap baris partisi koleksi pesawat ke poligon cembung; partisi ini dikenal sebagai susunan baris.

Garis adalah komponen pembentuk bangun datar dan bangun ruang. dalam matematika. Garis selalu digambarkan sebagai garis lurus yang kedua ujungnya memiliki anak panah.

 Ciri – ciri garis :

1.       Tidak mempunyai pangkal

2.       Tidak mempunyai ujung

3.       Panjangnya tidak terhingga

3. Sifat – sifat garis :

1.       Jika diketahui kedua titik sembarang dalam ruang, maka melalui titik itu dapat dibuat satu garis.

2.       Suatu garis dapat diperpanjang secara tak terbatas dikedua arahnya.

3.       Suatu garis mungkin mempunyai banyak nama .

Unsur pembentuk garis adalah ruas garis. Ruas garis merupakan jajaran ruas garis yang saling menyambung membentuk garis. Ruas garis adalah garis yang dibatasi dua buah titik. Ruas garis dilambangkan dengan garis lurus tanpa panah.

Titik, Garis, Sudut Dan Kurva

1. TITIK



Pengertiana. TitikTitik adalah tidak berbentuk dantidak mempunyai ukuran. Titikmerupakan suatu ide yangabstrak.



Noktah untuk menunjukan titikNama sebuah titik biasanya menggunakanhuruf kapital seperti A, B, C, P, Q, R.contoh :. A = Titik A. P = Titik P 



Macam-macam titik



Titik balik



Titik bagi suatu garis



Titik invarian



Titik pangkal



Titik potong



Titik sudut

2. GARISa. Garisgaris adalahGaris adalah komponenpembentuk bangun datar dan bangunruang, dalam matematika.

b. Ciri-ciri garis

•

Tidak mempunyai pangkal

•

Tidak mempunyai ujung

•

Panjangnya tidak terhinggac. Sifat

 –

sifat garis :

•

Jika diketahui kedua titik sembarang dalamruang, maka melalui titik itu dapat dibuatsatu garis.

•

Suatu garis dapat diperpanjang secara takterbatas dikedua arahnya.

•

Suatu garis mungkin mempunyai banyaknama .

Oke sekarang kita akan bahas satu persatu konsep tersebut. Mulai dari konsep titik, garis, dan bidang.

Titik

Kita tidak asing dengan istilah titik. Bahkan setiap kita menulis kita selalu menggunakannya. Apakah sama titik dalam “dunia menulis” dengan titik dalam “dunia matematika”?

Dalam “dunia menulis” titik merupakan tanda yang digunakan untuk mengakhiri sebuah kalimat, sedangkan dalam “dunia matematika” titik merupakan sesuatu yang punya kedudukan, tetapi titik tidak punya ukuran. Sama seperti dalam dunia menulis, dalam dunia matematika titik direpresentasikan dengan sebuah noktah “.”. Hanya saja dalam dunia matematika titik diber nama dengan menggunakan huruf kapital seperti A, B, atau C, dan seterusnya. Pada gambar di bawah ini diperlihatkan dua buah titik, yaitu titik B dan titik Q.

Garis

Oke sekarang kita akan bahas mengenai garis. Garis adalah himpunan titik-titik yang anggotanya terdiri dari lebih dari satu buah titik. Titik-titik tersebut berderet ke kedua arah yang berlawanan sampai jauh tak terhingga. Model atau representasi suatu garis misalnya seperti seutas benang atau tali lurus yang dapat diperpanjang kedua arah yang berlawanan sampai jauh tak terhingga. Garis hanya mempunyai ukuran panjang. Berbeda dengan titik yang diberi nama menggunakan satu buah huruf kapital, sedangkan garis diberi nama dengan menggunakan huruf kecil seperti g, h, k, dan seterusnya, atau dua buah huruf kapital seperti AB, AC, BC, dan seterusnya. Pada gambar di bawah ini diperlihatkan dua buah garis, yaitu garis h dan garis AC.

Bidang

Garis adalah himpunan garis-garis yang anggotanya terdiri dari lebih dari satu buah garis. Jadi, pada sebuah bidang, terdiri dari banyak sekali garis. Model sebuah bidang adalah permukaan sebuah kertas yang dapat diperlebar ke semua arah. Bidang mempunyai ukuran panjang dan lebar serta diberi nama dengan menyebutkan titik-titik sudut dari bidang tersebut atau memakai huruf α, β, γ , dan seterusnya. Pada gambar di bawah ini diperlihatkan dua buah bidang, yaitu bidang α dan bidang ABCD.

Demikian konsep titik, garis dan bidang. Semoga konsep ini membantu Anda dalam mempelajari konsep-konsep berikutnya di materi ruang tiga dimensi.

Pengertian ruang

Ruang adalah suatu bentuk 3 dimensi, yang tersusun dari beberapa bentuk horizontal, vertikal, linier, maupun diagonal. Bentuk-bentuk tersebut membentuk suatu ruang didalamnya, untuk ditempati oleh berbagai massa.

·         Untuk Matematika SMA Kelas X Semester Genap Prodi Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan MatematikaFakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Pendidikan Indonesia 2012

·         Standar Kompetensi :6. Menentukan kedudukan, jarak, dan besar sudut yang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga.Kompetensi Dasar :6.1. Menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tigaNo. Tujuan Pembelajaran 1. Siswa dapat menentukan kedudukan antara titik dan garis2. Siswa dapat menentukan kedudukan antara titik dan bidang3. Siswa dapat menentukan kedudukan antara dua buah garis4. Siswa dapat menentukan kedudukan antara garis dan bidang5. Siswa dapat menentukan kedudukan antara dua buah bidang

·         Peta Konsep Ruang Dimensi Tiga Titik Terhadap Garis Bangun Ruang Sisi Datar Titik Terhadap Unsur-unsur Ruang BidangKubus Dimensi Tiga Antara DuaBalok Garis Titik Kedudukan GarisLimas Garis Titik, Garis, dan Terhadap Bidang Bidang Bidang Antara Dua Bidang

·         Sebelumnya, masihingatkah kalian mengenaiunsur-unsur dalam ruang dimensi tiga?? Mari kita ingat kembali bersama- sama!

·         Unsur-Unsur mengingat terbatasnya bidang gambar, sebuah Sebuahdalam diperpanjang sekehendak kita. Sebuahbidang dapatRuang Dimensi Namun, garis dapat diperluas seluas-luasnya. Pada umumnya, sebuah bidang hanya dilukiskan sebagian Tiga atau ruas garis. garis hanya dilukiskan sebagian saja. Bagian ini disebut saja yang disebut sebagai wakil bidang. wakil garis Wakil suatu bidang memiliki ukuran panjang dan lebar.BidangGaris Gambar wakiltitik tidak memiliki suatu Sebuah bidang biasanya panjang, tapi tidak Garis hanya mempunyai ukuranberbentuk persegi, persegi panjang, atau jajar genjang. definisi yang pasti. Sebuah titik mempunyai ukuran lebar. Titik hanya dapat digambarkan dengan Nama dari suatu bidang dituliskan di daerah pojok Nama dari sebuah garis dapat ditentukan dengan memakai tanda noktah kemudian bidang dengan memakai simbol tertentu. menyebutkan nama wakil garis itu dengan memakai dibubuhi dengan nama titik itu. huruf kecil atau menyebutkan nama wakil garis dari titik pangkal ke titik ujungMisal : Misal : Misal : B g A A B

·         Kedudukan Titik TerhadapGaris dan Titik Terhadap Bidang

·         Kedudukan Titik Terhadap Sekarang perhatikan titik dan garis pada Garis sebuah kubus MNOP.QRST berikut! Misal diberikan sebuah T titik A, garis g, dan titik B S dengan ilustrasi sebagai berikut. Q g R B A g O P Titik A terletak pada garis M N g, sebab titik A dilalui Segmen garis QR merupakan wakil oleh garis g. Sebaliknya, Titik-titik sudut kubus yang terletak pada garis g titik B berada di luar garis garis g adalah titik Q dan R. g, sebab titik B tidak Titik-titik sudut kubus yang terletak di luar dilalui oleh garis g. garis g adalah titik-titik M, N, O, P, S, dan T.

·         Kedudukan Titik Terhadap Sekarang perhatikan titik dan bidang pada kubus Bidang ABCD.EFGH berikut ini!Misal diberikan dua buah titik, yaitu H Gtitik A dan B serta suatu bidang yaitu bidang dengan ilustrasi sebagai berikut E F B A D C A BTitik A terletak pada bidang , sebab Bidang ABEF merupakan wakil bidang titik A dapat dialui oleh bidang . Titik-titik sudut kubus yang terletak pada Sebaliknya, titik B terletak di luar bidang adalah titik-titik A, B, E, dan F. bidang , sebab titik B tidak dapat Titik-titik sudut kubus yang terletak di luar dilalui oleh bidang . bidng adalah titik-titik C, D, G, dan H.

·         Latihan Diketahui limas beraturan T.PQRS pada gambar berikut! 1. Sebutkan titik-titik sudut limas yang terletak pada rusuk-rusuk sisi! 2. Sebutkan titik-titik sudut limas yang terletak di luar rusuk-rusuk alas! 3. Sebutkan titik-titik sudut limas yang terletak pada rusuk-rusuk alas! 4. Sebutkan titik sudut limas yang berada di luar bidang alas!Jawaban

·         Kedudukan Garis Terhadap Garis Lain dan Garis Terhadap Bidang

·         Kedudukan Antara Dua Garis Dua buah garis, misal g dan h dikatakan berpotongan, jika garis itu terletak pada sebuah bidang dan Berpotongan mempunyai sebuah titik persekutuan. Perhatikan ilustrasi berikut! T S h X Perhatikan gambar kubus g MNOP.QRST di samping! Q RGaris g dan h terletak pada bidang Ayang sama, yaitu bidang QRST dan Ymemiliki sebuah titik persekutuan, h n yaitu titik X. m gGaris m dan n terletak pada bidang Oyang sama, yaitu bidang NPTR dan Pmemiliki sebuah titik persekutuan, Titikyaitu titik Y. Persekutuan M N

·         Kedudukan Antara Dua Garis Dua buah garis misal g dan h, dikatakan sejajar jika kedua garis Sejajar tersebut terletak pada sebuah bidang (bidang yang sama) serta tidak memiliki satu pun titik persekutuan. Perhatikan ilustrasi berikut! Garis RT dan NP terletak pada T S bidang yang sama yaitu bidang m gNPRT serta tidak memiliki satu pun h titik persekutuan, maka dapat Q R dikatakan bahwa garis RT dan NP sejajar Garis MN dan QR terletak pada bidang yang sama yaitu bidang O Sekarang, perhatikan gambar MNQR serta tidak memiliki satu P garis-garis pada kubus npun titik persekutuan, maka garis MNMNOP.QRST berikut! dan QR dapat dikatakan M N sejajar.

·         Kedudukan Antara Dua Garis Dua buah garis, misal g dan h dikatakan bersilangan (tidak Bersilangan berpotongan dan tidak sejajar) jika kedua garis itu tidak terletak pada sebuah bidang. Perhatikan ilustrasi berikut! Nampak bahwa garis g terletak pada bidang H G h sedangkan garis h menembus bidang dan garis h terletak pada bidangE D F C g Pada balok ABCD.EFGH, garis AB terletak pada bidangA B ABEF, sedangkan garis DH dandua buahterletak pada Sekarang perhatikan ilustrasi garis CG garis yang bersilangan pada balok ABCD.EFGH berikut ! bidang CDHG. Sehingga garis AB dikatakan bersilangan dengan garis DH maupun dengan garis CG.

·         Kedudukan Garis Perhatikan ilustrasi berikut! Terhadap Bidang c Sekarang perhatikan balok ABCD.EFGH berikut ini! Sebuah garis, misal garis a, dikatakan terletak pada bidang jika garis a dan b bidang sekurang-kurangnya mempunyai dua titik persekutuan. Garis AB sejajar dengan bidang CDGH H a Sebuah garis, misal garis b, dikatakan menembus atau memotong bidang jika G garis b dan bidang sekurang-kurangnya mempunyai sebuah titik persekutuan. Garis b merupakan garis yang menembus bidang E D F C Sebuah garis, misal garis c, dikatakan sejajar bidang jika garis c dan bidangGaris c merupakan tidak yang garis mempunyai satu pun titik persekutuan. A B sejajar bidang Garis a merupakan garis yang terletak Garis AB menembus Garis AB terletak pada pada bidang bidang ADEH dan bidang bidang ABEF BCFG

·         Kedudukan Bidang Terhadap Bidang Lain

·         Kedudukan Antara Pandang kubus MNOP.QRST berikut! Perhatikan gambar berikut! Dua Bidang Bidang dan saling Bidang-bidang yang berhimpit saling sejajar : T S MNQR dan POST NORS danMPQT MNOP dan PQRS Q R,Bidang-bidang yangsaling berpotongan : MOSQ dan NPTR MNQR dan NORS Bidang Odan saling MNQR dan MPQT P sejajar MNQR dan MNOPMNQR dan QRST, dst Bidang Mdan saling N berpotongan

·         Latihan Jawaban1. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Sebutkan rusuk-rusuk kubusyang :a. Berpotongan dengan diagonal ruang BHb. Berhimpit dengan diagonal ruang BHc. Sejajar dengan rusuk ABd. Bersilangan dengan rusuk AB2. Diketahui kubus ABCD.EFGH . Sebutkan rusuk-rusukkubus yang :a. Terletak pada bidang BDHFb. Sejajar terhadap bidang EFGHc. Memotong atau menembus bidang EFGH

·         Terimakasih

·         Jawaban :1. Titik T dan P pada rusuk TP, titik T dan Q pada rusuk TQ, titik T dan R pada rusuk TR, serta titik T dan S pada rusuk TS.2. Titik T terletak di luar rusuk alas.3. Titik P, Q, R, dan S terletak pada rusuk-rusuk alas.4. Titik T terletak di luar bidang alas, yaitu bidang PQRS.

·         Jawaban : 2. 1.a. a. diagonal ruang dan BF Garis BD, FH, DH, terletak pada bidang BDHF AG berpotongan H G b. dengan diagonal dan AD Garis AB, CD, BC, sejajar dengan bidang ruang BH EFGH b. Diagonal ruang E F c. BH berhimpitCG, dn DH Garis AE, BF, menembus bidang EFGH dengan diagonal ruang BH c. Garis CD, AF, dan GH sejajar dengan C rusuk AB D d. Rusuk CG, DH, EH, dan FG A B bersilangan dengan rusuk AB

Hubungan Antara Garis Dengan Bidang

Hubungan antara garis dengan bidang antara lain yaitu :

a.   Jika dua buah titik pada sebuah garis terletak pada sebuah bidang, maka semua titik pada garis itu terletak pada bidang tersebut. Maksudnya adalah jika pada suatu bidang  yaitu bidang ABCD  dimana pada bidang tersebut terdapat garis l yang merupakan garis tengah bidang tersebut.Pada garis l terdapat titik M dan titik N yang juga terdapat pada bidang.Maka berdasarkan pernyataan tersebut di atas maka semua titik yang berada pada garis l juga akan terletak pada bidang  ABCD karena garis l terletak pada bidan ABCD.

b.   Sebuah garis di katakan menembus sebuah bidang jika garis dan bidang itu mempunyai sebuah titik persekutuan. Titik itu di sebut titik tembus garis dengan bidang tersebut. Maksudnya adalah terdapat sebuah bidang yang di beri nama bidang αdan garis j.di bidang α terdapat titik T yang merupakan titik persekutuan antara bidang α dan garis j.Di karenakan bidang α dan garis j  mempunyai titik persekutuan maka dapat di katakan bahwa garis j menembus bidang α di titik T.

c.    Sebuah garis akan sejajar dengan sebuah bidang jika garis itu sejajar dengan salah satu garis yang terletak pada bidang tersebut. Maksudnya adalah  pada bidang β terdapat sebuah garis l dan juga terdapat garis k yang berada di luar bidang atau dengan kata lain bahwa garis k tidak berada pada bidang β.Garis l dan garis k merupakan dua garis yang sejajar. Hal ini berdasarkan pengertian dua garis sejajar dinyatakan bahwa dua buah garis itu sejajar jika terletak pada sebuah bidang dan tidak mempunyai titik persekutuan. Pembuktian dua buah garis tersebut adalah dengan menghubungkan  titik  ujung yang ada pada garis l pada bidang dan garis k sehingga membentuk sebuah bidang yang baru yang terbentuk melalui kedua garis tersebut. Dari bidang tersebut dapat di lihat bahwa kedua garis tersebut sejajar. Berdasarkan hubungan pada nomor 3 maka dapat di katakan bahwa garis k dan bidang β sejajar.

·         Materi Ajar• Bangun ruang dan unsur-unsurnya (1)• Bangun ruang dan unsur-unsurnya (2)• Kubus dan Balok• Prisma

·         Bangun Ruang dan Unsur-unsurnya (1)• Gambar ruang dari balok dan kubus : Letak titik garis dan bidang pada balok dan kubus• Hubungan antara garis dan bidang suatu garis dan garis dalam ruang• Ketegaklurusan garis terhadap bidang• Hubungan antara bidang dan bidang

·         Gambar ruang dari balok dankubus : Letak titik garis dan bidang pada balok dan kubus

·         Balok dan Kubus• BALOK • KUBUS

·         BALOK• Balok merupakan suatu bangun ruang yang sisinya berbentuk persegi panjang dan yang saling berhadapan kongruen.

·         Rusuk Balok Balok mempunyai 12 buah rusuk, yaitu : AB, BC, CD, AD, AE, BF, CG, DH, EF, FG, GH, EH

·         Sisi Balok Balok mempunyai 6 buah sisi, yaitu : • sisi bawah : ABCD • sisi atas : EFGH • sisi depan : ABFE • sisi belakang : CDHG • sisi kanan : BCGF • sisi kiri : ADHE

·         Titik Sudut Balok Balok mempunyai 8 buah titik sudut, yaitu : titik A, B, C, D, E, F, G, dan H

·         Diagonal Sisi Balok Balok mempunyai 8 diagonal sisi, yaitu : diagonal sisi AC = BD = EG = HF = AF = BE = CH = DG = AH = DE = BG = CF

·         Diagonal Ruang Balok Balok mempunyai 4 diagonal ruang yaitu : AG = BH = CE = DF

·         Bidang Diagonal Balok Balok mempunyai 6 buah bidang diagonal yaitu : ACGE, BDHF, ABGH, CDE F, ADGF, BCHE

·         KUBUSKubus adalah suatu bangun ruang yang sisinyaberbentuk persegi dan kongruen.

·         Rusuk Kubus Kubus memiliki 12 buah rusuk, yaitu : AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE, AE, BF, CG, dan DH.

·         Sisi Kubus Kubus memiliki 6 buah sisi, yaitu : • sisi bawah : ABCD • sisi atas : EFGH • sisi depan : ABFE • sisi belakang : CDHG • sisi kanan : BCGF • sisi kiri : ADHE

·         Titik Sudut Kubus Kubus mempunyai 8 buah titik sudut, yaitu : titik A, B, C, D, E, F, G, dan H

·         Diagonal Sisi Kubus Kubus mempunyai 8 diagonal sisi, yaitu : diagonal sisi AC = BD = EG = HF = AF = BE = CH = DG = AH = DE = BG = CF

·         Diagonal Ruang Kubus Kubus mempunyai 4 diagonal ruang yaitu : AG = BH = CE = DF

·         Bidang Diagonal Kubus Kubus mempunyai 6 buah bidang diagonal yaitu : ACGE, BDHF, ABGH, CDEF, ADGF, dan BCHE

·         Hubungan antara garis dan bidang suatu garis

·         Pengertian Garis dan Bidang• Garis Garis adalah himpunan titik-titik.• Bidang Bidang adalah perluasan dari beberapa titik atau garis yang mempunyai ukuran panjang dan lebar.

·         Hubungan Garis dan Bidang• Terletak pada Bidang • Menembus Bidang g g α α• Sejajar dengan Bidang g α

·         Hubungan Garis dan Garis• Berimpit • Sejajar g=h g h• Berpotongan • Bersilangan g g α h h α

·         Ketegaklurusan garis terhadap bidang

·         Ketegaklurusan Garis Terhadap BidangDefinisi :Sebuah garis tegak pada sebuah lurusbidang jika garis itu tegak lurus padasemua garis yang terletak pada bidangtersebut.

·         Sifat :• Jika sebuah garis tegak lurus pada dua garis berpotongan yang terletak pada sebuah bidang, maka garis itu akan tegak lurus pada bidang tersebut. g x z h y• Jika garis g tegak lurus bidang h, sedangkan garis x, y dan z sembarang garis yang terletak pada bidang h, maka g tegak lurus x, g tegak lurus y dan g tegak lurus z.

·         • Jika garis g tegak lurus dengan garis a dan b yang berpotongan, sedang garis a dan garis b terletak pada bidang h, maka g tegak lurus bidang h. g a h b• Dengan demikian, bahwa jika sebuah garis tegak lurus sebuah bidang dapat dibuktikan bahwa garis tersebut tegak lurus pada dua garis berpotongan yang terletak pada bidang tersebut.

·         Sifat-sifat penting yang berkaitan dengan garis dan bidang yangtimbal balik tegak lurus :• Semua garis yang melalui sebuah titik dan menyilang tegak lurus suatu garis yang sama terletak pada sebuah bidang• Melalui sebuah titik hanya dapat dibuat sebuah bidang yang tegak lurus pada suatu garis• Melalui sebuah titik hanya dapat dibuat tepat sebuah garis yang tegak lurus pada suatu bidang• Jika salah satu dari dua garis sejajar letaknya tegak lurus pada suatu bidang, maka garis yang satu lagi tentu tegak lurus pada bidang tadi.• Dua buah garis yang masing-masing tegak lurus pada suatu bidang, adalah sejajar.

·         Hubungan antarabidang dan bidang

·         Hubungan antara Dua Bidang Jika diketahui bidang H dan V, maka mungkin:• a Bidang H dan V sejajar Keduanya sama sekali tidak mempunyai titik persekutuan.• b Bidang H dan V berpotongan pada sebuah garis. Garis potong ini biasa dilambangkan dengan (H,V).

·         Hubungan antara Tiga Bidang

·         Hubungan antara Tiga Bidang• Ketiganya sejajar: → Bidang α║β║γ• Dua bidang sejajar, dipotong bidang ketiga: Bidang α║β dan γ ╫ α, γ ╫β ⇒(α, γ)║(β, γ)• Ketiga bidang berpotongan pada satu garis. ⇒ (α, β), (α, γ), dan (β, γ) berimpit.• Ketiga bidang berpotongan pada tiga garis potong yang sejajar. (α, β)║(α, γ) ║(β, γ)• Ketiga bidang berpotongan pada sebuah titik ⇒ ketiga garis potong (α, β), (α, γ), dan (β, γ) melalui sebuah titik.

·         Bangun Ruang dan Unsur-unsurnya (2)• Jarak antara titik, garis, dan bidang• Jaring-jaring kubus dan balok serta simetri pada kubus dan balok

·         Jarak antara titik, garis, dan bidang

·         Jarak Antara Dua Titik A yC B x

·         Jarak Titik ke Garisa. Jika titik dan garis terletak b. Jika titik dan garis terletak pada satu bidang tidak pada satu bidang B h C B g g A α α• Titik B adalah proyeksi titik A pada sisi garis g AC adalah jarak antara• AB adalah jarak antara titik titik A dan garis g A dan garis g

·         Jarak Titik ke Bidang A • Garis g menembus bidang di B • AB adalah jarak antaraα B titik A dan bidang

·         Jarak Dua Garis yang Sejajar • Garis m tegak lurus A m kedua garis g dan h A’α h g • AA’ adalah jarak antara garis g dan garis h

·         Jaring-jaring kubus dan balokserta simetri pada kubus dan balok

·         Jaring-jaring KubusSebuah kubus apabila dipotongmenurut rusuk-rusuknyakemudian tiap sisinyadirentangkan akanmenghasilkan jaring-jaring kubus.

·         Jaring-jaring Kubus :

·         Jaring-jaring BalokJaring-jaring balok terbentukdari 6 buah persegi panjangyang dirangkai menjadi sebuahbangun balok.

·         Jaring-jaring balok :

·         Simetri pada Kubus• Bidang parallel tengah. Bidang simetri seperti ini ada 3 buah seperti gambar di bawah ini.

·         • Simetri Bidang Diagonal • Simetri cermin

·         KUBUS DAN BALOK

·         Kubus dan Balok KUBUS BALOK• Panjang Diagonal Ruang • Panjang Diagonal Ruang dR = s 3 dR = p2 l 2 t 2• Luas • Luas L = 6 s2 L = 2 pl lt pt• Volume • Volume V = s3 V = p.l.t

·         PRISMA

·         PRISMA Bidang banyak adalah bangun yang dibatasi oleh bidang-bidang datar yang dua-duanya saling berpotongan.

Hubungan Titik, Garis dan Bidang

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Ilmu matematika merupakan ilmu yang telah lama kita pelajari, mulai dari bangku SD sampai SMA, dan pastinya kita telah banyak mengetahui tentang materi yang ada dalam ilmu matematika. Namun ketika kita masih duduk dibangku SMA, mungkin pengetahuan kita tentang matematika masih umum. Semua materi belum dipisah atau dikelompokkan. Berbeda dengan sekarang di Perguruan Tinggi, materi sudah dikelompokkan sendiri-sendiri. Termasuk materi yang kita pelajari sekarang yakni Geometri 1. Ketika masih duduk di bangku SMA pastinya kita telah mendapat materi tentang Geometri. Bapak atau Ibu Guru pasti sudah menerangkan unsur-unsur yang ada dalam materi Geometri khususnya pada bidang datar. Kita semua tahu apa yang dimaksud bidang datar dan juga sifat-sifatnya. Namun di dalam materi bidang datar juga terdapat hal-hal yang perlu diperhatikan, seperti besar sudut, bentuk sudut, cara menentukan suatu sudut dan juga kedudukan dua garis. Dalam mempelajari ilmu matematika , kita tidak boleh mudah puas dan lega dengan ketentuan yang ada, kita harus berusaha untuk mengetahui latar belakang dari semua itu, kita harus tahu dari mana asal rumus itu dan dari mana pula teori-teori itu muncul. Begitu juga dalam mempelajari Geometri, kita harus tahu teori-teori yang ada. Memang kita semua sudah mengetahui bentuk sudut itu apa saja dan kita juga tahu tentang nama-nama sudut, seperti sudut berpenyiku, sudut berpelurus, dsb. Namun kita belum tahu mengapa sudut itu dinamakan demikian dan bagaimana cara menamakan sudut. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini kami akan mengangkat judul “Hubungan Titik, Garis dan Bidang”, karena kami berfikir materi ini perlu kita pelajari dan pahami lebih jauh lagi. Karena dengan mengetahui dan mengerti tentang mata kuliah ini. Setidaknya mampu dan tidak mengalami kesulitan saat kita mengajar dan menjawab pertanyaan siswa-siswi kita nantinya. Rumusan Masalah Bagaimanakah deskripsi tentang titik, garis, dan bidang Bagaimanakah kedudukan titik, garis dan bidang Bagaimanakah definisi aksioma Tujuan Mengetahui deskripsi titik, garis dan bidang Mengetahui kedudukan titik, garis dan bidang Mengetahui definisi aksioma File Asli bisa di download disini

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Kata “ geometri ” berasal dari bahasa Yunani yang berarti “ ukuran bumi “. Maksudnya mencakup segala sesuatu yang ada di bumi. Geometri adalah ilmu yang membahas tentang  hubungan antara titik, garis, sudut, bidang dan bangun-bangun ruang. Mempelajari geometri penting karena geometri telah menjadi alat utama untuk mengajar seni berpikir. Dengan berjalannya waktu, geometri telah berkembang menjadi pengetahuan yang disusun secara menarik dan logis. Geometri terutama terdiri dari serangkaian pernyataan tentang titik-titik, garis-garis, dan bidang-bidang, dan juga planar (proyeksi bidang) dan benda-benda padat. Geometri dimulai dari istilah-istilah yang tidak terdefinisikan, definisi-definisi, aksioma-aksioma, postulat-postulat dan selanjutnya teorema-teorema. Berdasarkan sejarah, geometri telah mempunyai banyak penerapan yang sangat penting, misalnya dalam mensurvei tanah, pembangunan jembatan, pembangunan stasiun luar angkasa dan lain sebagainya.

Geometri adalah sistem pertama untuk memahami ide. Dalam geometri beberapa pernyataan sederhana diasumsikan, dan kemudian ditarik menjadi pernyataan-pernyataan yang lebih kompleks. Sistem seperti ini disebut sistem deduktif. Geometri mengenalkan tentang ide konsekuensi deduktif dan logika yang dapat digunakan sepanjang hidup. Dalam mendefinisikan sebuah kata, pertama digunakan kata yang lebih sederhana kemudian kata yang lebih sederhana ini pada gilirannya didefinisikan menjadi kata yang lebih sederhana lagi, sehingga pada akhirnya, proses tersebut akan berakhir. Pada beberapa tingkatan, definisi harus menggunakan sebuah kata yang artinya sudah sangat jelas, ini dikarenakan agar artinya diterima tanpa memerlukan definisi lagi, dengan kata lain dapat disebut dengan istilah tak terdefinisikan (undefined term).

Garis dan bidang merupakan salah satu contoh dari istilah tak terdefinisikan yang menjadi pijakan awal dari geometri, sehingga konsep garis dan bidang sering digunakan dalam geometri. Misalnya adalah perpotongan dari dua bidang akan menghasilkan sebuah garis yang terletak pada dua bidang yang saling berpotongan. Kubus, balok dan lain sebagainya merupakan kumpulan dari bidang – bidang. Dari contoh di atas dapat dipahami bahwa garis dan bidang merupakan faktor dasar geometri, tentunya dengan tidak melupakan bahwa titik juga merupakan dasar dari geometri.

B. Permasalahan

Permasalahan dalam makalah ini yaitu bagaimana pembahasan geometri yang khusus pada geometri bidang, yaitu bidang matematika yang mencakup tentang kaitan titik, garis, bangun dan sejenisnya. Bagaimana pembahasan bentuk-bentuk bidang dalam ruang dimensi dua atau yang disebut dengan bidang datar, seperti persegi, persegi panjang, jajaran genjang, layang-layang, trapesium dan lingkaran. Disamping itu juga bagaimana pembahasan tentang keliling serta luasan dari bidang tersebut, yang penerapannya menyangkut luasan dari bidang.

Antara Titik, Garis, Bidang, Ruang dan Kontinuitas: Sebuah Tinjauan Filosofis

Diterbitkan Jumat, 7 September 2007 Tak Berkategori 9 Komentar 
Kaitkata:artikel, belajar, diri, dunia, filsafat, fisika, hidup, ilmu alam, logika, manusia,matematika, pemikiran

Sewaktu SMU dulu saya masih teringat salah satu penjelasan dari guru matematika saya mengenai hubungan garis dan titik. Saya juga mengetahui bahwa pendekatan atau pemahaman yang Guru SMU saya sampaikan atau ajarkan kepada saya, juga merupakan sebuah pemahaman yang digunakan dalam banyak bidang. Yang paling modern adalah dalam bidang komputer grafis. Monitor Televisi, Monitor Komputer, Gambar Digital, Gerakan Sebuah Film dan masih banyak bidang lainnya yang menggunakan pendekatan Guru SMU saya ini. Tetapi saya selalu memendam satu pertanyaan atau keraguan yang sampai sekarang belum bisa saya pecahkan.

Titik titik itu tergambar di depan kelas. Dengan sebuah bantuan dua garis koordinat kartesian titik titik itu terus digambarkan. Kemudian titik titik itu semakin dekat jaraknya antara yang satu dengan yang lain. Saking dekatnya gambaran titik yang satu dengan yang lain, akhirnya kapur tulis untuk menggambar titik tersebut tidak mampu lagi menyisakan ruang untuk membuat sebuah titik lagi diantara dua titik. Sebuah garis lurus miring 90 derajat yang memotong sumbu X dan sumbu Y pun tergambar. Kemudian Sang Guru berkata:

Sebuah garis pada dasarnya hanyalah kumpulan dari titik titik. Kalian bisa mendapatkan garis dengan menggambar titik titik sedemikian sehingga saling berdekatan dan akhirnya menghasilkan sebuah garis.

Ya, dalam sensasi indera penglihatan saya memang titik titik yang digambarkan oleh Guru Matematikan tersebut telah menghasilkan sebuah garis. Namun saya pada waktu itu dalam hati kecil bertanya: Bagaimana mungkin sebuah titik yang individual dan terpetak-petak atau terpisah-pisah bisa menghasilkan sesuatu atau entitas yang memiliki sifat kontinu atau tak terpisah?

Saya tahu bahwa garis memiliki sifat yang kontinu. Garis tida mungkin merupakan sesuatu yang terpisah. Sensasi mata saya yang menyaksikan titik-titik menjadi sebuah garis, saya merasa hanyalah karena kesalahan indera. Indera penglihatan saya menipu saya. Andaikan titik-titik yang berubah menjadi garis tersebut diperbesar dan bentuk titiknya semakin kecil maka garis tersebut pastilah menjadi titik titik lagi. Titik adalah titik. Tidak mungkin kumpulan titik menjadi sebuah garis. Tidak mungkin kumpulan keterpisahan-keterpisahan yang berarti ketakkontinuan menjadi sesuatu yang kontinu. Garis adalah garis. Ia berbeda dengan titik.

Saya tahu pendekatan seperti yang Guru Matematika saya tersebut jelaskan merupakan sesuatu pemahaman atau pendekatan yang diikuti juga di dalam dunia Matematika, Fisika, Kimia dan masih banyak lagi cabang keilmuan yang mengikuti pola pikir seperti itu. Demikian pula pernah seorang Dosen Filsafat Terkenal Di UGM dan Yogya yang bernama Damardjati Supadjar mengatakan seperti ini:

Kumpulan titik titik menjadi garis. Kumpulan garis-garis menjadi bidang. Kumpulan bidang-bidang menjadi ruang.

Apa yang saya berikan diatas memang tidak sama persis dengan yang dikatakan oleh bapak Dosen Filsafat dari Fakultas UGM Yogyakarta (Waktu itu Bapak Dosen ini lagi wawancara di TVRI Jogja, saya sudah lupa kapan itu terjadi. Di salah satu bukunya juga pernah ditulis mengenai hal ini), namun esensinya merupakan sesuatu yang sama seperti juga esensi yang dikatakan oleh Guru SMU saya. Saya sampai sekarang masih tidak habis pikir, bagaimana mungkin sesuatu yang pada dasarnya secara filosofis masih dipertanyakan bisa menjadi sebuah “pernyataan atau proposisi” yang diumbar dan diberikan atau diucapkan layaknya sebuah “kebenaran tak terbantahkan”

Konsep titik menjadi garis, garis menjadi bidang, bidang menjadi ruang hanyalah merupakan konsep yang sepenuhnya berdasarkan ketakmampuan indera kita. Gambar digital dikomputer yang menampilkan sebuah potret atau foto Monica Belluci dengan tubuh molek dan indahnya, secara nyata dan fakta hanyalah merupakan kumpulan dari pixel-pixel alias titik titik (digit: 0 dan 1). Ketika pixel atau titik tersebut diperbesar, ia tidaklah memiliki kontinuitas yang dituntut dalam sebuah gambar nyata. Film dibioskop atau di televisi hanyalah merupakan kumpulan dari gambar-gambar tak nyata yang mandeg alias tak bergerak. Ketika ia menjadi sebuah gambar yang sepertinya “hidup” dan bergerak semua itu hanyalah tipuan indera penglihatan kita. Dunia Nyata dengan gambar hidupnya atau ruang hidupnya adalah sebuah kontinuitas (ini keyakinan saya saat ini).

Tetapi saya juga kebingungan ketika menyaksikan sebuah pengalaman sederhana. Sebuah tali terpotong dan menjadi dua. Adalah sesuatu yang aneh dan mengagumkan bagi saya ketika menyaksikan sebuah kontinuitas (tali sesuatu yang kontinu, saya ibaratkan sebagai layaknya garis) berubah menjadi sesuatu yang tidak kontinu ( menjadi dua bagian berarti memutus kontinuitas). Saya merasa hal itu benar-benar tidak masuk akal.Bagaimana mungkin sebuah kontinuitas menjadi sesuatu yang tak kontinu. Proses apakah yang terjadi? Dimana dan Kapan menghilangnya kontinuitas itu? Kenapa itu terjadi? Tapi itu juga sekaligus merupakan fakta dan kenyataan. Bagaimana mungkin kenyataan bisa berbeda dan kontradiktif dalam pemikiran. Pasti ada yang salah dengan pemikiran saya. Namun lambat laun akhirnya saya tahu kesalahan apa dalam pemikiran saya sehingga saya terheran-heran atas kejadian sederhana seperti itu. Saya tidak akan menjelaskan disini atau saat ini, lain waktu mungkin. Namun saya masih juga menyisakan kebingungan-kebingunan. Saya kadang berfikir juga: Apakah sesungguhnya kontinuitas itu tidak ada? Ah, Saya tak mampu menjawabnya.

Permasalahan seperti ini kalau dirunut dari sejarah filsafat bisa dirujuk ke pemikirannya Zeno dengan Konsep “Anak Panahnya” maupun Demokritos dengan “Atomnya”.